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목요일, 2월 13, 2025

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저항 컨덕턴스 병렬 구조

저항 (Resistor) 와 컨덕턴스 (Conductance) 의 병렬 회로에 대해서 알아 보겠습니다.

컨덕턴스(conductance)란 무엇인가?


전기가 얼마나 잘 통하느냐 하는 정도를 나타내는 계수가 컨덕턴스 (conductance) 입니다. 따라서 저항은 컨덕턴스와 반대로 전기를 얼마나 못 흐르게 하느냐 하는 계수이므로 컨덕턴스는 저항의 역수가 됩니다.

정확하게 표현하자면, ​직류에서는 저항의 역수를 나타낸 값이고, 교류에서는 어드미턴스 식의 실수부인 G값 

즉, 복소 임피던스의 실수부의 역수 기능을 하는 부분입니다.

컨덕턴스는 G로 표시하며, 그 단위는 [S:’지멘스’],(대문자로 표시) 또는 모[mho:]를 사용합니다.

 컨덕턴스로 전류를 구하는 공식은 아래와 같습니다.

G = 1/R [S],  I = V*G (V*1/R이므로)

컨덕턴스는 저항의 역수이기 때문에 직렬과 병렬의 합성 콘덕터스의 계산이 저항과 반대가 됩니다.

병렬회로에서 저항 구하기


각 저항 양단의 전압은 전원전압과 같고 각 저항에 흐르는 전류는 분배 됩니다.

직렬에서는 전류값이 동일하고, 병렬에서는 전압값이 동일합니다.

 

병렬회로 구성 – 합성저항

 

2개의 저항이 병렬로 연결된 회로는 전압은 일정하고 전류는 분배된다.각 저항 R₁, R₂에 흐르는 전류는 옴의 법칙과 키르히호프의 전류법칙을 적용하면 전체전류 I는 

합성저항이 R0(0은 첨자이므로 R보다 작게 표기함이 원칙이다.)이라고 하면 
I = V/Rㅇ이므로  I 대신에 V/Rㅇ를 대입하면

​V/R= V(1/ R₁+ 1/R₂)  이므로 V는 서로 상쇄되고

따라서 위 두식의 관계로부터

일반적으로 n개의 저항이 병렬로 연결된 경우

 

 병렬회로 구성 – 합성 컨덕턴스

 

전체전류 I I = I₁+ I₂= G₁V + G₂V = (G₁+ G₂)V 합성 컨덕턴스 G0 는

​I 대신에 G0 V를 대입하면 G0 V =​ (G₁+ G₂)V 따라서 위 두 식의 관계로부터 V는 서로 상쇄 되므로

또는  다른 방법으로 하면 G0 = 1/R0 이고  I₁= V/ R₁, I₂=  V/R₂ 이므로

I = I₁+ I₂= V/ R₁+ V/R₂= V(1/ R₁+1/R₂) 

I = V/R이므로  I 대신에 V/R를 대입하면

V/R= V(1 / R₁+1/R₂) 

(1/R)​V = V(1 / R₁+1/R₂) 

이므로 V는 서로 상쇄되고  G0 = 1/R0 이고  G₁= 1 / R₁,G₂= 1/R₂이므로

 G0 =​ G₁+ G₂

일반적으로

n개의 컨덕턴스가 병렬로연결된 경우의 합성컨덕턴스는

 

  

 전류분배의 법칙

 

병렬회로의 각 저항에 전류가 흘러들어오면 전류는 각 컨덕턴스의 크기에 비례하고,  R각 저항의 크기에는 반비례하므로 

 I₁= G₁V   이고  V = I /G​0  이고  G0 = G₁+ G₂이므로 

I₂= G₂V  이고  V = I /G0  이고  G0 = G₁+ G₂이므로  대입하면

 

I₁과 I₂의 크기의 분배는 G1, G2에 비례한다.(저항의 직렬회로 전류분배와 같다.)

즉 입력전류는 각각의 컨덕턴스에 비례하여 분배된다.

이것을 전류분배의 법칙(rule of current division)이라고 한다.

 일반적으로 n개의 컨덕턴스가 병렬연결된 경우

 

또는

I₁= V/ R₁이고   V = I R이고 R = R₁R₂/R₁+ R₂이므로 

​​ I₂=V/ R₂이고   V = I R이고 R= R₁R₂/R₁+ R₂이므로 

​I₁= V/ R₁= I R/R₁= {I  (R₁R₂/R₁+ R₂)/R₁}

= { I (R₁R₂)/R₁(R₁+ R₂)}

R₁은 서로 상쇄 되므로  

I₁과 I₂의 크기의 분배는 R₂,R₁에 비례한다.

즉 입력전류는 각각의 저항에 반비례하여 분배된다.​​

이것을 전류분배의 법칙(rule of current division)이라고 한다.

 

예제​


저항의 병렬연결에서

R₁= 10[Ω], R₂=  20[Ω], I = 3[A]이라면, I₁과 I₂는 각각 몇 [A]인가?

풀이) 전류분배의 법칙으로부터

 

 

예제 2)

저항의 병렬연결에서

2개의 저항 R₁= 4[Ω], R₂ = 1[Ω]이고 전압전원 V가 10[V]일때,

전류I₁, I₂ 및 전체전류 I를 구하여라.

풀이)

저항의 병렬 연결에서 전압은 일정하고

전류는 분배 되므로

 

  

예제 3)

저항의 병렬연결에서

R₁=10[Ω], R₂= 5[Ω], R₃= 2[Ω]이고 I = 2[A]일 때,

 I₁, I₂, I₃를 구하여라

 

풀이 1)

저항을 컨덕턴스로 변환하여 구하면

 (이때 저항값을 컨덕턴스 값으로 등가 변환 한다 )

합성컨덕턴스 GO는 0.1+ 0.2 + 0.5 = 0.8 []

I₁= G₁V   이고  V = I / G​0  이고 G0 = G₁+ G₂+ G₃이므로 

따라서

풀이 2)

저항으로 구하면 세개의 합성저항의 합  Rㅇ는  R₁ R₂R₃/R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁ 이고

I₁= V/R₁= I Rㅇ​/R₁

=​ I(R₁ R₂R₃/R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁)/ R₁이므로

R₁은 서로 상쇄 되므로 분로 전류 I₁= R₂R₃I/R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁

= (5*2)*2​/10*5+5*2+2*10 = 20/80 = 0.25 [A]

​분로 전류 I₂= R₃R₁I/R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁

= (2*10)*2/10*5+5*2+2*10 = 40/80 = 0.5 [A]

분로 전류 I₃= R₁R₂I/R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁

= (10*5)*2/10*5+5*2+2*10 = 40/80 = 1.25 [A] 이다.

(저항으로 구하나 컨덕턴스로 구하나 그 값은 같으나 저항이 3개 이상일 경우에는

컨덕턴스로 구하면 쉽고 간략하다.)

예제 4)

병렬회로에서 각 저항이 2,3,6[옴]이고  I = 12[A]일때

각 저항에서 소비전력을 구하고, 이들의 합은 전원에서의 공급전력과 같음을

보여라.

풀이)

 

따라서 전체 소비전력 P​72+48+24 = 144[W]

전원 공급전력 PS는

따라서 전체 소비전력과 전원 공급전력은 같다.

예제5)

예제6)

 

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