저항 (Resistor) 와 컨덕턴스 (Conductance) 의 병렬 회로에 대해서 알아 보겠습니다.
컨덕턴스(conductance)란 무엇인가?
전기가 얼마나 잘 통하느냐 하는 정도를 나타내는 계수가 컨덕턴스 (conductance) 입니다. 따라서 저항은 컨덕턴스와 반대로 전기를 얼마나 못 흐르게 하느냐 하는 계수이므로 컨덕턴스는 저항의 역수가 됩니다.
정확하게 표현하자면, 직류에서는 저항의 역수를 나타낸 값이고, 교류에서는 어드미턴스 식의 실수부인 G값
즉, 복소 임피던스의 실수부의 역수 기능을 하는 부분입니다.
컨덕턴스는 G로 표시하며, 그 단위는 [S:’지멘스’],(대문자로 표시) 또는 모[mho:℧]를 사용합니다.
컨덕턴스로 전류를 구하는 공식은 아래와 같습니다.
G = 1/R [S], I = V*G (V*1/R이므로)
컨덕턴스는 저항의 역수이기 때문에 직렬과 병렬의 합성 콘덕터스의 계산이 저항과 반대가 됩니다.
병렬회로에서 저항 구하기
각 저항 양단의 전압은 전원전압과 같고 각 저항에 흐르는 전류는 분배 됩니다.
직렬에서는 전류값이 동일하고, 병렬에서는 전압값이 동일합니다.
병렬회로 구성 – 합성저항
2개의 저항이 병렬로 연결된 회로는 전압은 일정하고 전류는 분배된다.각 저항 R₁, R₂에 흐르는 전류는 옴의 법칙과 키르히호프의 전류법칙을 적용하면 전체전류 I는
V/Rㅇ= V(1/ R₁+ 1/R₂) 이므로 V는 서로 상쇄되고
따라서 위 두식의 관계로부터
일반적으로 n개의 저항이 병렬로 연결된 경우
병렬회로 구성 – 합성 컨덕턴스
전체전류 I 는 I = I₁+ I₂= G₁V + G₂V = (G₁+ G₂)V 합성 컨덕턴스 G0 는
I 대신에 G0 V를 대입하면 G0 V = (G₁+ G₂)V 따라서 위 두 식의 관계로부터 V는 서로 상쇄 되므로
또는 다른 방법으로 하면 G0 = 1/R0 이고 I₁= V/ R₁, I₂= V/R₂ 이므로
I = I₁+ I₂= V/ R₁+ V/R₂= V(1/ R₁+1/R₂)
I = V/Rㅇ이므로 I 대신에 V/Rㅇ를 대입하면
V/Rㅇ = V(1 / R₁+1/R₂)
(1/Rㅇ)V = V(1 / R₁+1/R₂)
이므로 V는 서로 상쇄되고 G0 = 1/R0 이고 G₁= 1 / R₁,G₂= 1/R₂이므로
G0 = G₁+ G₂
일반적으로
n개의 컨덕턴스가 병렬로연결된 경우의 합성컨덕턴스는
전류분배의 법칙
병렬회로의 각 저항에 전류가 흘러들어오면 전류는 각 컨덕턴스의 크기에 비례하고, R각 저항의 크기에는 반비례하므로
I₁= G₁V 이고 V = I /G0 이고 G0 = G₁+ G₂이므로
I₂= G₂V 이고 V = I /G0 이고 G0 = G₁+ G₂이므로 대입하면
I₁과 I₂의 크기의 분배는 G1, G2에 비례한다.(저항의 직렬회로 전류분배와 같다.)
즉 입력전류는 각각의 컨덕턴스에 비례하여 분배된다.
이것을 전류분배의 법칙(rule of current division)이라고 한다.
일반적으로 n개의 컨덕턴스가 병렬연결된 경우
또는
I₁= V/ R₁이고 V = I Rㅇ이고 Rㅇ = R₁R₂/R₁+ R₂이므로
I₂=V/ R₂이고 V = I Rㅇ이고 Rㅇ = R₁R₂/R₁+ R₂이므로
I₁= V/ R₁= I Rㅇ/R₁= {I (R₁R₂/R₁+ R₂)/R₁}
= { I (R₁R₂)/R₁(R₁+ R₂)}
R₁은 서로 상쇄 되므로
I₁과 I₂의 크기의 분배는 R₂,R₁에 비례한다.
즉 입력전류는 각각의 저항에 반비례하여 분배된다.
이것을 전류분배의 법칙(rule of current division)이라고 한다.
예제
저항의 병렬연결에서
R₁= 10[Ω], R₂= 20[Ω], I = 3[A]이라면, I₁과 I₂는 각각 몇 [A]인가?
풀이) 전류분배의 법칙으로부터
예제 2)
저항의 병렬연결에서
2개의 저항 R₁= 4[Ω], R₂ = 1[Ω]이고 전압전원 V가 10[V]일때,
전류I₁, I₂ 및 전체전류 I를 구하여라.
풀이)
저항의 병렬 연결에서 전압은 일정하고
전류는 분배 되므로
예제 3)
저항의 병렬연결에서
R₁=10[Ω], R₂= 5[Ω], R₃= 2[Ω]이고 I = 2[A]일 때,
I₁, I₂, I₃를 구하여라
풀이 1)
저항을 컨덕턴스로 변환하여 구하면
(이때 저항값을 컨덕턴스 값으로 등가 변환 한다 )
합성컨덕턴스 GO는 0.1+ 0.2 + 0.5 = 0.8 [℧]
I₁= G₁V 이고 V = I / G0 이고 G0 = G₁+ G₂+ G₃이므로
따라서
저항으로 구하면 세개의 합성저항의 합 Rㅇ는 R₁ R₂R₃/R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁ 이고
I₁= V/R₁= I Rㅇ/R₁
= I(R₁ R₂R₃/R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁)/ R₁이므로
R₁은 서로 상쇄 되므로 분로 전류 I₁= R₂R₃I/R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁
= (5*2)*2/10*5+5*2+2*10 = 20/80 = 0.25 [A]
분로 전류 I₂= R₃R₁I/R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁
= (2*10)*2/10*5+5*2+2*10 = 40/80 = 0.5 [A]
분로 전류 I₃= R₁R₂I/R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁
= (10*5)*2/10*5+5*2+2*10 = 40/80 = 1.25 [A] 이다.
(저항으로 구하나 컨덕턴스로 구하나 그 값은 같으나 저항이 3개 이상일 경우에는
컨덕턴스로 구하면 쉽고 간략하다.)
예제 4)
병렬회로에서 각 저항이 2,3,6[옴]이고 I = 12[A]일때
각 저항에서 소비전력을 구하고, 이들의 합은 전원에서의 공급전력과 같음을
보여라.
풀이)
따라서 전체 소비전력 P는 72+48+24 = 144[W]
전원 공급전력 PS는